Математические методы для задач геофизики
Настоящая работа является составной частью НИР “Разработка математических моделей в задачах с высокими контрастами параметров” (далее - проект). Целью проекта является создание нового поколения алгоритмов для расчета геофизических течений, происходящих в мантии Земли. Проект совместный: работа ведется в сотрудничестве с кафедрой геофизики Швейцарского федерального технологического института г. Цюрих (ETH Zurich). Широкое применение математического аппарата позволяет ускорить работу численных алгоритмов, а в некоторых случаях даже удается построить явное решение. Также является актуальной задача тестирования алгоритмов. Обычно результаты их работы сравнивают между собой. Однако, более надежным методом является сравнение результата работы алгоритма с точным решением задачи. Для этого нужны эталонные решения (benchmark solutions).
В настоящей работе предложены методы проверки численных алгоритмов. Иногда одну и ту же задачу удается решить двумя разными способами. С одной стороны, предъявляется точное аналитическое решение задачи. С другой стороны, задача решается посредством применения численных алгоритмов. Сравнение результатов позволяет оценить качество работы численного метода. Нам удалось найти точные аналитические решения уравнений Стокса и неразрывности для линейно меняющейся вязкости в двумерном случае. Эти решения удобно использовать в качестве эталонных для проверки численных методов. Эффективность подхода была продемонстрирована на примере тестирования нескольких алгоритмов, рассчитывающих течения в геофизике. Полученные результаты могут найти широкое применение в области фундаментальной и прикладной геофизики, а также помогут улучшить работу численных алгоритмов.
Рисунок 1. Распределение Vx, Vy и P; двумерный случай, линейно меняющаяся вязкость, слабый контраст вязкости (eta_2 = eta_3 = 5).
Рисунок 2. Распределение вязкости и плотности: двумерный случай, линейно меняющаяся вязкость, слабый контраст вязкости
Рисунок 3. График зависимости относительной ошибки от шага сетки в логарифмическом масштабе