Прикладные теоретические исследования, финансовая математика

IIa. Методы квантовых измерений в ценообразования на финансовых рынках

В течение длительного времени физики пытались численно смоделировать поведение нелинейного стохастического уравнения Шрёдингера, применяемого в описании процессов измерения состояния квантовой системы. В 2002 г. было получено аналитическое решение этой задачи. Оказывается, что математические методы нелинейной фильтрации, используемые для получения этого решения, находят широкое применение в других областях знаний для описания наблюдаемого явления (в отличие от предсказания или сглаживания, которые являются традиционным использованием теории фильтрации). Например, они применимы для описания поведения человека: люди ведут себя в соответствии со своей «оптимальной оценкой» или «оптимальным предположением» о будущем – по существу все, что мы делаем, определяется нашей "оптимальной оценкой" будущего, сознательной или подсознательной.

В применении к финансам, это направление исследований привело к возникновению так называемой теории информационно обусловленного ценообразования на рынке ценных бумаг (Information-based asset pricing). В рамках данной теории математические методы фильтрации могут применяться по отношению к разным наблюдаемым явлениям, например для описания поведения трейдеров на финансовых рынках.

Традиционные схемы формирования стоимости активов и управления рисками основаны на подходе, при котором ценообразование (которое само по себе является новой концепцией, возникшей из потоков информации) моделируется экзогенно, а информация о рынке генерируется случайным изменением цен. В подходе, представленном Броди и др., тем не менее, применяется обратный взгляд на ситуацию: потоки информации о рынке моделируются с самого начала, а, исходя из них, формируются цены. Несмотря на значительные наработки в данной области, остается множество вопросов. В рамках данной лаборатории мы ставим перед собой целью развитие информационного подхода для следующих областей.

  1. Рынок энергетики (где традиционные подходы являются ограниченными и не могут объяснить, например, резкие взлеты и падения на рынке электроэнергии);
  2. Рынок недвижимости (для которого было проведено сравнительно немного исследований с точки зрения современной финансовой математики);
  3. Рынок страхования / перестрахования, уже затронутый в работе, которая будет дополнена анализом процессов Леви в зависимости от вида страхового договора;
  4. Моделирование кредитных рисков, где существуют вопросы, возникшие недавно, и связанные с допущениями в оценке кредитного риска.

IIb. Социальное дисконтирование и устойчивое общество

Хорошо известная теорема Дубвига, Ингресолла и Росса показывает, что долгосрочная ставка с нулевым купоном никогда не может упасть. Этот результат – без сомнения, правильный – был расценен многими как противоречивый, проистекает из неявного предположения, что долгосрочная дисконтная функция  имеет экспоненциальный хвост. Тем не менее, недавно было показано, что если долгосрочная «простая» процентная ставка (LIBOR) конечна, тогда эта ставка (в отличие от ставки с нулевым купоном) является жизнеспособным параметром состояния, стоимость которого может колебаться случайно в соответствии с другими экономическими показателями.

Необходимые условия для существования «гиперболически» длинных ставок – так называемое социальное дисконтирование, позволяющее оценивать долгосрочные денежные потоки важные как в краткосрочной так и в среднесрочной перспективе.